Análise dimensional

Na mecânica as grandezas primitivas ou fundamentais são:

Massa (M), comprimento (L) e tempo (T). Por isso, para representar o Sistema Internacional de unidades, por exemplo, basta escrevermos (m, k, s), onde o m corresponde ao metro (dimensão de comprimento L), o k corresponde ao quilograma (dimensão de massa M) e o s corresponde ao segundo (dimensão de tempo T). Existem também outros  sistemas, como o sistema (c, g, s).

Podemos expressar uma grandeza física em função das grandezas fundamentais. Para indicar que se trata de uma equação dimensional, indicaremos a grandeza G entre colchetes:

equacao-1.jpg

Os números a, b e c são chamados de dimensões da grandeza G. Dizemos então que a grandeza G possui dimensão a em relação à massa M, dimensão b em relação ao comprimento L e dimensão c em relação ao tempo T.

Vamos agora determinar a fórmula dimensional das principais grandezas da mecânica:


Velocidade

A grandeza velocidade não possui dimensão de massa M. Possui uma dimensão de comprimento L dividido por uma dimensão de tempo T. Portanto sua equação dimensional será: M0L1T-1.

Velocidade


Aceleração

A grandeza aceleração também não possui dimensão de massa M. É uma velocidade (M0L1T-1) dividida por uma dimensão de tempo T. O que resulta na equação dimensional : M0L1T-2, como pode ser visto abaixo:

Aceleração


Força

Para chegar à equação dimensional da força eu usei a 2ª lei de Newton, que relaciona a força com massa e aceleração. Perceba que a equação dimensional da força nada mais é do que a equação dimensional da aceleração M0L1T-2 acrescida de uma dimensão de massa M. Confira abaixo:

Força dimensional


Quantidade de movimento

A quantidade de movimento Q = m . v, é a equação de velocidade acrescida de uma dimensão de massa M:

Quantidade de movimento dimensional


Impulso

O Impulso de uma força I = F . Δt, é a força multiplicada por uma dimensão de tempo. Nós já vimos acima a equação dimensional da força M0L1T-2. Ao multiplicarmos por uma dimensão de tempo resultará em:

Fórmula dimensional do impulso

É muito importante perceber que o impulso de uma força e a quantidade de movimento são dimensionalmente equivalentes. O que justifica a igualdade do teorema do Impulso I = ΔQ onde o impulso é igual a variação da quantidade de movimento. A igualdade não seria válida se não houvesse a homogeneidade dimensional.


Agora preste muita atenção nas fórmulas dimensionais da energia potencial gravitacional, energia cinética, energia potencial elástica e do trabalho mecânico:

Energia Potencial Gravitacional

Energia potencial gravitacional

Energia Cinética

Energia cinética

Energia Potencial Elástica

Onde temos a constante elástica K, cuja unidade no S.I. é o N/m:

Energia potencial elástica dimensional

Trabalho Mecânico

Trabalho mecânico

Como não poderia deixar de ser, a Epg, a Ec, a Epel e o τ também são dimensionalmente equivalentes. Justificando a conservação da energia mecânica, onde uma forma de energia pode se transformar em outra, e justificando também o teorema do trabalho τ = ΔE .

A análise dimensional é um poderoso instrumento na verificação da validade de equações e na previsão de fórmulas físicas.

Espero que essa aula seja útil e qualquer dúvida, deixe um comentário que ele será prontamente respondido. Um abraço e até a próxima.

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2 Respostas

  1. Ñ está muito bem explicado!

  2. Por que tira o 2 da fórmula da energia cinética?

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